Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian có ví dụ

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là nội dung quan trọng trong hình học không gian. Trong bài viết này, điện máy Sharp Việt Nam sẽ nhắc lại lý thuyết và công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và các dạng bài tập minh hoạ có lời giải chi tiết để các bạn tham khảo

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là gì?

Κhοảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) được định nghĩa là khοảng cách từ điểm M đến hình chiếu (vuông góc) của nó trên (P). Ký hiệu là d(M,(P)).

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, bạn cần biết tọa độ của điểm đó và phương trình của mặt phẳng.

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(α;β;γ) và mặt phẳng (P) có phương trình là: ax + by + cz + d = 0. Khi đó, công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng đã cho là:

Trong đó:

• α;β;γ là toạ độ của điểm M trong không gian Oxyz
• a,b,c,d là các hệ số của phương trình mặt phẳng P

Tham khảo thêm:

• Tích vô hướng của hai vectơ và các dạng bài tập có lời giải từ A – Z
• Cách tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng, không gian từ A – Z

Phương pháp tìm khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) , ta sử dụng các phương pháp sau đây:

Cách 1:

Bước 1:

• Tìm hình chiếu H của O lên (α)
• Tìm mặt phẳng (β) qua O và vuông góc với (α)
• Tìm Δ = (α) ∩ (β)
• Trong mặt phẳng (β), kẻ OH ⊥ Δ tại H ⇒ H là hình chiếu vuông góc của O lên (α)

Bước 2: Khi đó OH là khoảng cách từ O đến (α)

Cách 2:

Nếu đã có trước đường thẳng d ⊥ (α) thì kẻ Ox // d cắt (α) tại H. Lúc đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α) ⇒ d(O, (α)) = OH

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính d(I,(SFC))

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a, SD ⊥ (ABCD), SD = a

a. Tính d(D,(SBC))

b. Tính d(A,(SBC))

Lời giải

Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC

a. Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH ⊥ SB, (H ∈ SB) (1)

Vì BM = AD = ½CD => Tam giác BCD vuông tại B hay BC ⊥ BD (*). Mặt khác, vì SD ⊥ (ABCD) => SD ⊥ BC (**)

Từ (*) và (**) ta có:

BC ⊥ (SBD) => BC ⊥ DH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DH ⊥ (SBC) hay d(D,(SBC)) = DH

Ứng dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

• Hình học và Kỹ thuật: Trong kỹ thuật và hình học, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một phần quan trọng của việc thiết kế và tính toán trong các ứng dụng như thiết kế máy móc, kiến trúc, và định vị trong không gian 3D.
• Định vị và GPS: Trong hệ thống định vị toàn cầu (GPS), các tín hiệu từ nhiều vệ tinh được sử dụng để xác định vị trí của một điểm trên mặt đất. Để làm điều này, khoảng cách từ điểm tới các vệ tinh cần được tính toán. Các thuật toán GPS sử dụng phương trình khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để xác định vị trí.
• Trong học máy: Khi bạn làm việc với dữ liệu đa chiều, tính khoảng cách từ một điểm dữ liệu đến một mặt phẳng hoặc siêu mặt phẳng có thể được sử dụng để phân loại hoặc gom cụm dữ liệu.
• Xử lý hình ảnh: Trong xử lý ảnh, tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng hoặc đối tượng có thể được sử dụng để xác định khoảng cách giữa các đối tượng trong ảnh hoặc để phát hiện vật thể
• Các ứng dụng trong khoa học và nghiên cứu: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cũng có ứng dụng trong nghiên cứu khoa học, ví dụ như trong việc đo khoảng cách từ các nguồn sáng đến mặt đất trong thiên văn học hoặc đo khoảng cách từ các phân tử đến một bề mặt trong hóa học.

Hy vọng rằng qua bài viết trên đã giúp bạn hiểu và biết cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng đơn giản và chính xác.