Cấp số cộng là dạng toán cơ bản của kiến thức lớp 11 có rất nhiều trong các đề thì tốt nghiệp và đại học. Tuy nhiên, có rất nhiều các bạn học sinh không nắm chắc được tính chất cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng, công thức cấp số cộng,..Chính vì vậy, chúng tôi sẽ tổng hợp chi tiết lý thuyết về cấp số cộng và bài tập chi tiết trong bài viết dưới đây.

Cấp số cộng là gì?

Trong toán học, cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0.

(un) là cấp số cộng ⇔  ∀n ∈ N, Un+1 = Un+ d

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

d = Un+1 – un

Tính chất cấp số cộng

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với với nó, nghĩa là

cap-so-cong

Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng

Nếu 1 cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bằng công thức sau:

un= u1 + (n – 1)d ( n ≥ 2).

Công thức tính tổng cấp số cộng

Giả sử (un) là một cấp số cộng, với mọi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó, (Sn = u1+u2+u3+…un). Khi đó ta có:

cap-so-cong-1

Kết hợp với công thức: un= u1 + (n – 1)d, ta có:

cap-so-cong-2

Tham khảo

Bài tập về cấp số cộng có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Dãy số 1; 3; 5; 7 là một cấp số cộng. Vì 3=1+2; 5=3+2; 7=5+2 nên đây là cấp số cộng với công sai d=2, u= 1.

Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 2 của cấp số cộng biết số hạng thứ 7 là 100 và công sai là 2.

Lời giải:

Áp dụng công thức: un= u1 + (n – 1)d

<=> u2 = u7 + ( 2 – 7 )d = 100 – 5.2 = 90

Ví dụ 3: Cho ba số 3; x; 9 theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm x.

Ta có:

cap-so-cong-3

Vậy x = 6 .

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng.

Áp dụng công thức:

cap-so-cong-1

Ta có:

cap-so-cong-4

Ví dụ 5: Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?

Lời giải

Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu (un) (triệu đồng)

Quý đầu: u1 = 6

Các quý tiếp theo: un+1 = un + 0,5 với ∀n ≥ 1

Mức lương của công nhân mỗi quý là 1 số hạng của dãy số un. Mặt khác, lương của quý sau hơn lương quý trước là 0,5 triệu nên dãy số un là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.

Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5.4 = 20 quý. Theo y/c của đề bài ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un).

Lương tháng quý 20 của công nhân: u20 = 6 + (20 – 1).0,5 = 15,5 triệu đồng

Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng:

cap-so-cong-5

Ví dụ 6:

cap-so-cong-6

Ví dụ 7 Cho CSC (un) thỏa mãn

cap-so-cong-7

1. Xác định công sai?

2. Tính tổng S = u5 + u7 +…+ u2011

Lời giải

cap-so-cong-8

2. Ta có u5,u7,…,u2011 lập thành CSC với công sai d = 6 và có 1003 số hạng nên

cap-so-cong-9

Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng để vận dụng giải các bài tập nhé