Cấp số nhân là gì? Công thức tính cấp số nhân đầy đủ chuẩn 100%

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ tới bạn đọc về lý thuyết cấp số nhân, tính chất cấp số nhân, công thức tính cấp số nhân và các dạng bài tập về cấp số nhân từ cơ bản đến nâng cao để các bạn cùng tham khảo nhé

Nội dung bài viết

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân.

Vì vậy, một cấp số nhân có dạng: a, ar, ar², ar³, ar⁴,…trong đó r là công bội và a là số hạng đầu tiên.

Công bội q

q = (U_n+ 1)/U_n

Trong đó: q là công bội của cấp số nhân.

Tính chất cấp số nhân

u_k²=u_k–1.u_k+1, ∀k≥2

Số hạng tổng quát: u_n=u₁.q_n–1, n≥2

Khi q = 0 thì dãy là U1; 0; 0;…; 0;… và Sn = U1 ( Sn : Tổng n số hạng đầu).

Khi q = 1 thì dãy có dạng U₁; U₁; U₁;…;U₁;…và S_n = n.U₁.

Khi U₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;…và S_n = 0.

Công thức tổng quát cấp số nhân

Nếu (U_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n+1=q.u_n, ∀n≥1,n ∈ N^∗(Với: N* là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 0.)

Ngoài ra, các bạn có thẻ tham khảo: Trung bình cộng là gì? Công thức tính trung bình cộng chuẩn 100%

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân

Giả sử có cấp số nhân (u_n) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n gọi s_n là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Ta có công thức như sau:

s_n= u₁ + u₂ + …+ U_n = u₁(1 – qⁿ)/(1 – q)

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là s_n = n.u₁

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Nếu cấp số nhân có công bội thỏa mãn -1 nhỏ hơn q và q nhỏ hơn 1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n = u₁(1 – qⁿ)/(1 – q) = u₁(qⁿ-1)/(q – 1)

Trong đó: S_n là tổng n số hạng đầu tiên.

Các dạng bài tập về cấp số nhân

Dạng 1: Nhận biết cấp số nhân

Bước 1: Tính q = (U_n + 1) / U_n ,∀ n ≥ 1

Bước 2: Kết luận:

Nếu q là số không đổi thì dãy (U_n) là cấp số nhân.
Nếu q thay đổi theo n thì dãy (U_n) không là cấp số nhân.

Ví dụ 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 3 và công bội là 2. Viết 6 số hạng đầu tiên.

Lời giải:

6 số hạng đầu tiên là 3, 6, 12, 24, 48, 96.

Ví dụ 2: Một cấp số nhân có số hạng thứ hai và thứ năm thứ tự là 10, 1250.
a) Tìm số hạng thứ nhất.
b) Viết 6 số hạng đầu tiên.

Lời giải

a) Gọi r là công bội của cấp số nhân. Tỷ số của số thứ năm với số thứ hai là r^{(5 – 2)} = r³ hay r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ đó r = 5. Số thứ nhất là 10 : 5 = 2.

b) 2, 10, 50, 250, 1250, 6250.