Trong toán học lớp 9, lớp 10 và lớp 11 có rất nhiều các công thức lượng giác khác nhau khiến bạn không thể nhớ hết được? Vậy làm sao có thể học thuộc được hết các công thức đó đơn giản mà dễ nhớ? Tất cả đã được chúng tôi trình bày chi tiết trong bài viết dưới đây.

Nội dung bài viết

Các công thức lượng giác lớp 9 

1. Công thức lượng giác trong tam giác

cong-thuc-luong-giac-trong-tam-giac

cong-thuc-luong-giac-trong-tam-giac1

2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn

cong-thuc-luong-giac-trong-tam-giac-vuong

2. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác

a, Cho α,β là hai góc phụ nhau. Khi đó ta có:

  • sin α = cos β; cos α = sin β
  • tan α =cot β; cot α=tan β

b) Cho góc nhọn α, ta có:

cong-thuc-luong-giac-trong-tam-giac-vuong1

3. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

cong-thuc-luong-giac-trong-tam-giac-vuong2

  • b = a.sin B; c = a.sin C
  • b = a.cos C; c = a.cos B
  • b = c.tan B; c = b.tan C
  • b = c.cot C; c = b.cot B

Các dạng bài tập công thức lượng giác lớp 9 

Bài 1: Cho biết cosα = 0,4. Hãy tìm sin⁡α, tan⁡α, cot⁡α

Lời giải:

bai-tap-luong-giac-lop-9

bai-tap-luong-giac-lop-9

bai-tap-luong-giac-lop-9-1

bai-tap-luong-giac-lop-9-2

bai-tap-luong-giac-lop-9-3

Các bạn có thể tham khảo thêm:

Các công thức lượng giác lớp 10 cơ bản

Giới thiệu các công thức lượng giác toán 10 cơ bản nằm trong chương trình sách giáo khoa lớp 10. Đây là những công thức bắt buộc các em học sinh lớp 10 cần phải học thuộc lòng thì mới có thể làm được những bài tập lượng giác cơ bản nhất.

cong-thuc-luong-giac

1. Công thức hàm lượng giác cơ bản

cong-thuc-luong-giac-co-ban

Cách ghi nhớ:

  • Sin bình cộng cos bình thì phải bằng 1.
  • Sin bình thì bằng tag bìn trên tag bình cộng 1.
  • Cos bình bằng một trên một cộng tag bình.
  • Một trên sin bình bằng 1 cộng cotg bình.
  • Một trên cos bình bằng một cộng tag bình.
  • Bắt được quả tang.
  • Sin nằm trên cos.
  • Cotg cãi lại.
  • Cos nằm trên sin.

2. Công thức cộng trừ lượng giác

cong-thuc-cong-tru-luong-giac

Cách ghi nhớ:

  • Sin thì sin cos cos sin
  • Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
  • Tang tổng thì lấy tổng tang
  • Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

3. Công thức nhân đôi

cong-thuc-luong-giac-nhan-doi

Cách ghi nhớ:

  • Sin gấp đôi thì bằng 2 lần sin cos
  • Cos gấp đôi bằng bình cos trừ bình sin, bằng luôn hai cos bình trừ đi 1, cũng bằng một trừ hai sin bình mà thôi.
  • Tang gấp đôi, ta lấy 2 tang chia đi một trừ bình tang ra liền.

4. Công thức nhân ba

cong-thuc-nhan-ba-luong-giac

Cách ghi nhớ:

  • Nhân 3 một góc bất kỳ.
  • Sin thì ba bốn, Cos thì bốn ba.
  • Dấu trừ đặt giữa hai ta, lập phường thì bốn chổ, thế là ra ngay.

5. Công thức hạ bậc

cong-thuc-luong-giac-ha-bac

6. Công thức chia đôi

cong-thuc-chia-doi-luong-giac

 

7. Công thức biến đổi tổng thành tích

cong-thuc-luong-giac-bien-tong-thanh-tich

Cách ghi nhớ:

  • sin tổng lập tổng sin cô
  • cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng
  • còn tan tử cộng đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng 2 tan)
  • một trừ tan tích mẫu mang thương sầu
  • gặp hiệu ta chớ lo âu,
  • đổi trừ thành cộng ghi sâu vào lòng
  • Một phiên bản khác của câu Tan mình cộng với tan ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là
  • tanx cộng tany: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta
  • tanx trù tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình

8. Công thức biến đổi tích thành tổng

cong-thuc-luong-giac-tich-thanh-tong

Cách ghi nhớ:

  • Cos cos nửa cos(+) cộng cos(-)
  • Sin sin nửa cos(-) trừ cos (+)
  • Sin cos nửa sin(+) cộng sin(-)

9. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Góc đối nhau ( cos đối)

  • cos(-x) = cosx
  • sin(-x) = – sinx
  • tan(-x) = – tanx
  • cot(-x) = – cotx

Góc bù nhau (sin bù)

  • sin (π – x) = sinx
  • cos (π – x) = – cosx
  • tan (π – x) = – tanx
  • cot (π – x) = – cotx

Góc phụ nhau (Phụ chéo)

goc-phu-nhau

Góc hơn kém π

  • sin (π + x) = -sinx
  • cos (π + x) = -cosx
  • tan (π + x) = tanx
  • cot (π + x) = cotx

Cách ghi nhớ:

  • Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tag.
  • Cosin của 2 góc đối thì bằng nhau.
  • Sin của 2 góc bù nhau cũng bằng nhau.
  • Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia.
  • Tan góc này bằng Cot góc kia.
  • Tan của 2 góc hơn kém pi cũng bằng nhau.

10. Hàm lượng giác ngược

ham-luong-giac-nguoc

11. Dạng số phức

dang-so-phuc

12. Tích vô hạn

tich-vo-han

Các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao

Ngoài các công thức lượng giác toán 10 cơ bản phía trên, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm cho các bạn học sinh các công thức lượng giác lớp 10 nâng cao. Đây là những công thức lượng giác hoàn toàn không có trong sách giáo khoa nhưng rất thường xuyên gặp phải trong các bài toán rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức, giải phương trình lượng giác.

1. Công thức hạ bậc

cong-thuc-luong-giac-nang-cao1

2. Công thức liên quan đến tổng và hiệu các giá trị lượng giác

cong-thuc-luong-giac-nang-cao

3. Các hệ thức lượng giác cơ bản trong tam giác

Cho tam giác ΔABC có các đỉnh lần lượt là A, B, C. Mối liên hệ giữa các góc ở đỉnh trong tam giác này với nhau:

cong-thuc-luong-giac-nang-cao2

cong-thuc-luong-giac-nang-cao3

4. Công thức liên quan đến tổng và hiệu các giá trị lượng giác

Mối liên hệ giữa sin và cos

cong-thuc-lien-quan-den-tong-va-hieu-cac-gia-tri-luong-giac

Mối liên hệ giữa tan và cot

cong-thuc-lien-quan-den-tong-va-hieu-cac-gia-tri-luong-giac1

5. Các công thức lượng giác sử dụng biến đổi hằng đẳng thức

bien-doi-hang-dang-thuc-trong-luong-giac

6. Công thức chia đôi góc

cong-thuc-chia-doi-goc6

Nếu nhân cả tử và mẫu với 1+ cos α, chúng ta sẽ có:

cong-thuc-chia-doi-goc1

Tương tự nếu nhân cả tử và mẫu với 1 – cos α , chúng ta sẽ có:

cong-thuc-chia-doi-goc2

Do đó:

cong-thuc-chia-doi-goc3

Nếu

cong-thuc-chia-doi-goc4

Thì

cong-thuc-chia-doi-goc5

Thần chú học công thức lượng giác đơn giản dễ nhớ

1. Công thức cộng trong lượng giác

  • Cos + cos = 2 cos cos
  • cos trừ cos = trừ 2 sin sin
  • Sin + sin = 2 sin cos
  • sin trừ sin = 2 cos sin.
  • Sin thì sin cos cos sin
  • Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
  • Tang tổng thì lấy tổng tang
  • Chia một trừ với tích tang.
  • tan một tổng 2 tầng cao rộng
  • trên thượng tầng tan + tan tan
  • dưới hạ tầng số 1 ngang tàng
  • dám trừ một tích tan tan oai hùng

2. Công thức nhân đôi

  • Sin gấp đôi = 2 sin cos
  • Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
  • = trừ 1 + 2 lần bình cos
  • = + 1 trừ 2 lần bình sin
  • Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang), chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

3. Các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Thần chú học bảng giá trị lượng giác: Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém π

Chi tiết thần chú:

  • cos đối: cos( – x ) = cosx
  • sin bù: sin( π – x ) = sina
  • Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này băng cot góc kia.
  • Hơn kém π tan: tan(x + π) = tanx và cot(x + π) = cotx

4. Công thức lượng tích thành tổng

  • Cos cos nửa cos cos
  • Sin sin trừ nửa cos cos
  • Sin cos nửa sin sin

5. Công thức lượng tổng thành tích

  • Sin trừ sin bằng 2 cos sin
  • Cos cộng cos bằng 2 cos cos
  • Cos trừ cos bằng – 2 sin sin
  • Tan ta cộng với tan mình bằng sin hai đứa trên cos mình cos ta.

6. Hệ thức trong tam giác vuông

  • Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền)
  • Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền)
  • Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề)
  • Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)
  • Sin : đi học (cạnh đối – cạnh huyền)
  • Cos: không hư (cạnh đối – cạnh huyền)
  • Tang: đoàn kết (cạnh đối – cạnh kề)
  • Cotang: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối)
  • Tìm sin lấy đối chia huyền
  • Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau
  • Còn tang ta hãy tính sau
  • Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
  • Cotang cũng dễ ăn tiền
  • Kề trên, đối dưới chia liền là ra

Cách giải các dạng bài tập lượng giác lớp 10 cơ bản 

I. Bài tập về các hệ thức lượng giác cơ bản.

Bài tập 1: Cho bai-tap-luong-giac. Xác định tính âm dương của các giá trị lượng giác:

bai-tap-luong-giac1

Hướng dẫn:

Xác định điểm cuối của các cung ,… thuộc cung phần tư nào, từ đó xác định tính âm dương của các giá trị lượng giác tương ứng.

+ Cách xác định tính âm dương của các giá trị lượng giác

bai-tap-luong-giac2

Lời giải:

bai-tap-luong-giac3

Bài tập 2: Tính các giá trị lượng giác của góc α biết:

bai-tap-luong-giac4

Hướng dẫn:

+ Nếu biết trước sinα thì dùng công thức: sin2α + cos2α = 1 để tìm ,

Lưu ý: Xác định dấu của các giá trị lượng giác để nhận, loại.

bai-tap-luong-giac5

+ Nếu biết trước cosα thì tương tự như trên.

+ Nếu biết trước tanα thì dùng công thức: bai-tap-luong-giac6 để tìm cosα ,

Lưu ý: xác định tính âm dương của các giá trị lượng giác để nhận, loại. sinα = tanα.cosα , bai-tap-luong-giac7

Giải:

bai-tap-luong-giac8

Các bài tập còn lại làm tương tự.

Bài tập 3: Cho bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10. Tính:

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-1

Hướng dẫn: Để tính các biểu thức này ta phải biến đổi chúng về một biểu thức theo tana rồi thay giá trị của tan a vào biểu thức đã biến đổi.

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-2

Bài 4:

a) Tính bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-3 biết tanα = -3

b) Tính bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-4 biết cotα = 2

Hướng dẫn:

a) Chia cả tử và mẫu cho cosα

b) Chia cả tử và mẫu cho sinα

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-5

II. Bài tập rút gọn và tính giá trị của biểu thức lượng giác

Bài tập 1: Đơn giản các biểu thức:

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-6

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-7

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-8

Hướng dẫn:

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-9

III. Bài tập về các công thức lượng giác

Bài tập 1: Tính các giá trị lượng giác của các cung có số đo:

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-10

Hướng dẫn: Phân tích thành tổng hoặc hiệu của hai cung đặc biệt

Phân tích 15o = 60o – 45o hoặc 45o – 30o rồi sử dụng các công thức cộng

Phân tích bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-11 rồi sử dụng các công thức cộng

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-12

Bài tập 2: Tính cos2α, sin2α, tan2α biết:

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-13

Hướng dẫn:

a) tính sina, sau đó áp dụng các công thức nhân đôi.

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-14

Bài tập 3: Chứng minh các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc vào a

a) A = 2(sin6α + cos66α) – 3(sin4α + cos4α)

Hướng dẫn: Sử dụng a3 + b3; A = -1

b) B = 4(sin4α + cos4α) – cos4α

Hướng dẫn: Sử dụng a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab và cos2α = 1 – 2sin2a; B = 3

bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-15

Hướng dẫn: Sử dụng bai-tap-cong-thuc-luong-giac-lop-10-16

Hy vọng với những thông tin về công thức lượng giác lớp 9, 10, 11 mà chúng tôi vừa phân tích chi tiết phía trên có thể giúp bạn nhớ được các công thức để vận dụng giải các bài toán liên quan đến lượng giác đơn giản. Chúc các bạn thành công