Tiếp tục trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ ôn lại kiến thức về diện tích mặt cầu và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao tính diện tích mặt cầu có lời giải chi tiết mời các bạn cùng tham khảo nhé
Nội dung bài viết
Công thức tính diện tích mặt cầu
Để tính đực diện tích mặt cầu ta lấy 4 lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của mặt cầu. Hoặc bình phương đường kính mặt cầu nhân với hằng số pi
Bước 1: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên.
Bước 3: Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Trong một vài trường hợp đặc biệt, có thể có công thức tính nhanh S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB góc 90 độ
Các đỉnh này không nằm trên cạnh đó) dưới góc 90 độ, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp đó: R = AB/2, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S= 2πAB2
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, đáy là hình tam giác ABC có góc B bằng 900, cạnh SA vuông góc với đáy tại điểm A. Tính S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = 2a
=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SC/2 = 2a/2 = a
=> S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC: S= 4πa2
Trường hợp 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC, SA = a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC:
r = SA2 /2.SO
S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC:
S= 4πR2 = 3/2πa2
Trường hợp 3: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đáy SABCD
Hình chóp tứ diện đều có ABCD là hình vuông. O là tâm hình vuông ABCD đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD: r = OD
Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
R= OD = (a√ 2)/2
S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ diện đều SABCD
S = 4πR2 = 2πa2
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a:
r = (a√ 3)/2
S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a:
S = 3πa2
Cách tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a:
r = a/2
S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a:
S = πa2
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có độ dài các cạnh lần lượt là a,b,h
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật:
R= (√(a2 +b2 +h2))/2
S của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật :
S = π(a2 +b2 +h2)
Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’ có độ dài cạnh đáy = chiều cao = a
Gọi O và O’ lần lượt là trọng tâm của 2 đáy tam giác ABC và A’BC’
=> Trung điểm I của đoạn OO’ là trọng tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều:
R = IC = √(IO’2 +O’C;2) = ( a√21 )/6
S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều
S = 4 π R2 = 7/3πa2
Tổng kết
Dạng bài tính diện tích mặt cầu
Công thức
Diện tích của mặt cầu S(I;r)
S = 4πr2
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có các đỉnh nhìn cạnh AB 1 góc 90 độ có SA = 2a
S= 4πa2
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC có SA = a
S = 3/2πa2
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều S ABCD có SA =a
S = 2πa2
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a
S = 3πa2
Diện tích của mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a
S = πa2
Cách tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
S = π(a2 +b2 +h2)
Cách tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều
S = 7/3πa2
Ví dụ 1: Cho một hình cầu có bán kính từ tâm O dài 6cm. Hỏi diện tích là bao nhiêu?
Lời giải
Áp dụng công thức trên, bạn có thể tính được diện tích của mặt cầu như sau:
S = 4.π.r2 = 4.π.62 = 114.π cm2
Ví dụ 2: Cho một hình cầu có đường kính từ tâm O dài 10cm. Hỏi diện tích là bao nhiêu?
Lời giải
Bán kính là R = d/2 = 10: 2 = 5 cm
Diện tích của mặt cầu là: S = π.d2 = π. 52 = 25π (cm2)
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Lời giải
Giả sử Δ là trục của hình vuông ABCD, vậy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nằm trên Δ.
ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có:
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S ABC nội tiếp đường tròn, các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và có kích thước lần lượt là: a,b,c. Tính diện tích và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của cạnh AB
=> Tam giác SAB là tam giác vuông tại S
=> SM = MA=MB = ½ AB (SM là đường trung tuyến)
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Kẻ đường thẳng α qua M và vuông góc với mặt phẳng (SAB) Trong mặt phẳng tạo bởi α và SC, đường trung trực của SC cắt α tại điểm I
=> IS = IC (1)
Mà IS = IA = IB (2)
Suy ra IA = IB = IC = IS
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp SABC, bán kính IS = IA = IB = IC Ta có: SM = ½ AB = ½ √ (SA2 +SB2 ) = ½ √(a2 +b2 ) IM = SC/2 = c/2
Bán kính R = IS = 1/2AB = 1/2√(a2 +b2 +h2 )
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là S = 4πR2 = (a2 +b2 +h2)π
Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi bạn có thể nắm được các công thức tính diện tích mặt cầu để áp dụng vào làm bài tập cực kỳ đơn giản và chính xác nhé
