Hình thoi là một trong những hình gặp rất nhiều trong các bài toán về hình học trong suốt quá trình học tập của chúng ta. Cho nên các bạn cần phải nắm được định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và tính chất hình thoi thì mới các thể áp dụng giải bài tập dễ dàng.
Nội dung bài viết
Hình thoi là gì?
Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bên bằng nhau. Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hay hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Tính chất hình thoi
Trong hình thoi:
Các góc đối nhau bằng nhau.
Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành. Đó là: Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.
Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.
Hình bình hành đặc biệt
Hình thoi là một dạng đặc biệt của một hình bình hành vì nó có đầy đủ tính chất của hình bình hành và còn có một số tính chất khác:
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
Bài tập chứng minh về hình thoi
Dưới đây là 4 cách chứng minh hình thoi các bạn có thể tham khảo
Cách 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có các trung điểm của bốn cạnh lần lượt là M, N, P, Q. Chứng minh rằng các trung điểm này là các đỉnh của hình thoi.
Lời giải:
Xét ΔABD có M và Q lần lượt là trung điểm của AB và AD.
⇒ MQ là đường trung bình của ΔABD.
⇒ MQ = ½ BD (1).
Chứng minh tương tự ta có: MN = ½ AC; NP = ½ BD; PQ = ½ AC (2).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3).
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra MQ = MN = NP = PQ.
⇒ Tứ giác MNPQ là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau.
Cách 2: Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AE của ΔABC và lấy EA = EF. Chứng minh tứ giác ABFC là hình thoi.
Ta có:
ΔABC cân tại A có trung tuyến AE.
⇒ AE là đường trung trực của BC.
⇒ Tứ giác ABFC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau.
Cách 3: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, P, Q, O lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: MQPO là hình thoi.
Lời giải
M là trung điểm của BE và Q là trung điểm của DE.
⇒ MQ là đường trung bình của ΔBDE.
⇒ MQ // BD và MQ = ½ BD.
Chứng minh tương tự, ta có:
PO // BD và PO = ½ BD.
Do có MQ // PO và MQ = PO nên tứ giác MQPO là hình bình hành (4).
Tương tự, ta có: QP là đường trung bình của ΔCDE.
⇒ QP = ½ CE mà CE = BD (giả thiết) => QM = QP (5).
Từ (4) và (5) ⇒ Tứ giác MQPO là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác ΔAOB; ΔBOC; ΔCOD và ΔDOA là đỉnh của một hình thoi.
Lời giải:
Gọi E, F, G, H lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.
Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBEO và ΔDGO có:
Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 (đối đỉnh) và OB = OD (giả thiết).
=> ΔBEO = ΔDGO (góc cạnh góc).
=> OE = OG và các điểm E, O, G thẳng hàng (6).
Chứng minh tương tự: OF = OH và F, O, H thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)
Mặt khác ta lại có OE ⊥ OF (là đường phân giác của hai góc kề bù). (9)
Từ (8) và (9) suy ra: EFGH là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nhớ được định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và tính chất hình thoi nhé
