Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang và các dạng bài tập giúp các bạn hệ thống lại kiến thức của mình nhé

Đường trung bình của tam giác là gì?

Đường trung bình của tam giác là là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác, mỗi một tam giác có ba đường trung bình.

Định lý và tính chất đường trung bình trong tam giác

  • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
  • Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Ví dụ:

duong-trung-binh-cua-tam-giac

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AD.

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó:DE // BC, DE = ½BC

Đường trung bình của hình thang là gì?

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang đó.

Định lý và tính chất đường trung bình trong hình thang

  • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
  • Đường trung bình của hình thang thì song song hai đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
  • V

Ví dụ:

duong-trung-binh-cua-tam-giac-1

Hình thang ABCD (AB//CD) có E, F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD, BC.

Suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

Do đó: EF // AB // CD, EF = (AB + CD)/2

Tham khảo thêm:

Các dạng bài tập đường trung bình trong tam giác và hình thang

Dạng 1: Chứng minh các hệ thức về cạnh và góc. Tính các cạnh và góc.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và hình thang.

  • Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
  • Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
  • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
  • Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Ví dụ 1: Cho tam giác MNP vuông tại M, MP = 12 cm, PN = 13 cm. Gọi O, Q là trung điểm của MP và PN.

a) Chứng minh OQ vuông góc với MP.

b) Tính độ dài OQ.

duong-trung-binh-cua-tam-giac-2

a) OQ là đường trung bình của tam giác MNP (Giả thiết).

=> OQ // MN (Định lý 2).

Mà MN vuông góc với MP (Tam giác MNP vuông tại M).

Do đó OQ vuông góc với MP.

b.

duong-trung-binh-cua-tam-giac-3

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE//IK, DE= IK.

duong-trung-binh-cua-tam-giac-4

* Trong ∆ABC, ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của AC (gt)

Nên ED là đường trung bình của ∆ABC

⇒ ED//BC và ED = BC/2 (tính chất đường trung bình tam giác) (l)

* Trong ∆GBC, ta có:

I là trung điểm của BG (gt)

K là trúng điểm của CG (gt)

Nên IK là đường trung bình của ∆GBC

⇒ IK // BC và IK = BC/2 (tỉnh chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (l) và (2) suy ra: IK // DE, IK = DE.

Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6Cm, CD = l4cm. Tính độ dài MI, IK, KN.

duong-trung-binh-cua-tam-giac-5

Lời giải:

Hình thang ABCD có AB // CD

M là trung điểm của AD (gt)

N là trung điểm của BC (gt)

Nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ MN//AB// CD

MN = (AB + CD) / 2 = (6 + 14) / 2 = 10 (cm)

* Trong tam giác ADC, ta có:

M là trung điểm của AD

MK // CD

⇒ AK= KC và MK là đường trung bình của ΔADC.

⇒ MK = 1/2 CD = 1/2 .14= 7 (cm)

Vậy: KN = MN – MK = 10 – 7 = 3 (cm)

* Trong ΔADB, ta có:

M là trung điểm của AD

MI // AB nên DI = IB

⇒ MI là đường trung bình của ΔDAB

⇒ MI = 1/2 AB = 1/2 .6 = 3 (cm)

IK = MK – Ml = 7 – 3 = 4 (cm)

Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang.

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa đường trung bình trong tam giác và hình thang.

  • Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
  • Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Chứng minh IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

duong-trung-binh-cua-tam-giac-6

Xét tam giác ABC có:

I là trung điểm của AB

J là trung điểm của BC

Suy ra IJ là đường trung bình tam giác ABC (định lý) (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh MI = IK = KN.

duong-trung-binh-cua-tam-giac-7

Trong ΔABC ta có: E là trung điểm của cạnh AB

D là trung điểm của cạnh AC

Nên ED là đường trung bình của Δ ABC

⇒ ED // BC và ED = 1/2 BC (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE

M là trung điểm cạnh bên BE

N là trung điểm cạnh bên CD

Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE ⇒ MN // DE (tính chất đường trung bình hình thang)

Trong ΔBED, ta có: M là trung điểm BE

MI // DE

Suy ra: MI là đường trung bình của ΔBED

⇒ MI = 1/2 DE – 1/4 BC (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong ΔCED ta có: N là trung điểm CD

NK // DE

Suy ra: NK là đường trung bình của ΔCED

⇒ NK = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình tam giác)

IK = MN – (MI + NK) = 3/4 BC – (1/4 BC + 1/4 BC) = 1/4 BC

⇒ MI = IK = KN = 1/4 BC

Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa chia sẻ phía trên có thể giúp các bạn nắm được định nghĩa, định lý, tính chất đường trung bình của tam và hình thang để áp dụng vào làm bài tập nhé