Giới hạn của hàm số là kiến thức cơ bản của lớp 11 nhưng có rất bạn học sinh không nắm được giới hạn hữu hạn của hàm số hay giới hạn vô cực của hàm số,..Chính vì vậy, trong bài viết dưới đây chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết và bài tập về giới hạn hàm số các bạn cùng tham khảo nhé

Tổng hợp các công thức tính giới hạn hàm số

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số

1. Giới hạn đặc biệt

Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K∖{x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn→x0, ta có f(xn)→L.

gioi-han-ham-so

2. Định lý

gioi-han-ham-so-1

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x ≠ x0).

gioi-han-ham-so-3

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;+∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là L khi x→+∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn→+∞, ta có f(xn)→L

gioi-han-ham-so-4

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (−∞;a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là L khi x→−∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn→−∞, ta có f(xn)→L.

gioi-han-ham-so-5

Tham khảo thêm:

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;+∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là −∞ khi x→+∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn→+∞, ta có f(xn)→−∞.

gioi-han-ham-so-6

2. Giới hạn đặc biệt

gioi-han-ham-so-7

3. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

gioi-han-ham-so-8

gioi-han-ham-so-9

Các dạng bài tập về giới hạn hàm số

Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lý và quy tắc

Phương pháp:

bai-tap-gioi-han-ham-so

bai-tap-gioi-han-ham-so-2

Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:

bai-tap-gioi-han-ham-so-1

Ví dụ 3: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?

bai-tap-gioi-han-ham-so-3

Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng

Phương pháp

bai-tap-gioi-han-ham-so-4

Dạng này ta gọi là dạng vô định 0/0

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có :f(x) = (x-x0)f1(x)

Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích

f(x) = (x-x0)f1(x)và : g(x) = (x-x0)g1(x).

bai-tap-gioi-han-ham-so-5

bai-tap-gioi-han-ham-so-6

bai-tap-gioi-han-ham-so-7

Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng, vô cùng trên vô cùng

Phương pháp: Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng ∞/∞

bai-tap-gioi-han-ham-so-8

Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Phương pháp:

bai-tap-gioi-han-ham-so-9

bai-tap-gioi-han-ham-so-10

gioi-han-ham-so-11

gioi-han-ham-so-12

Hy vọng với lý thuyết và các dạng bài tập về giới hạn của hàm số mà chúng tôi vừa phân tích phía trên có thể giúp các bạn hệ thống lại kiến thức để áp dụng vào làm bài tập nhé