Trong bài viết dưới đây, Điện Máy Sharp Việt Nam sẽ chia sẻ lý thuyết góc giữa hai mặt phẳng là gì? Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian và các bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo
Nội dung bài viết
Góc giữa hai mặt phẳng là gì?
Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hiểu đơn giản về góc giữa hai mặt phẳng là một góc mà hai mặt phẳng tạo thành khi chúng gặp nhau hoặc cắt nhau.
Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Tính chất:
Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ
Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1. Tìm hai đường thẳng a; b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Cách 2. Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(β) thì S’ = S.cosφ ⇒ cosα ⇒ φ
Cách 3. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.
Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mp
Bước 2: Chọn mặt phẳng (γ) vuông góc Δ
Bước 3: Tìm các giao tuyến (γ) với (α); (β) ⇒ ((α), (β)) = (a, b)
Bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
C. (BCD) ⊥ (AIB)
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Lời giải
+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ BI (1)
+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ AI (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).
⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB .
Vậy A: sai ⇒ Chọn A
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tâm giác vuông cân tại điểm B. SA = a và vuông góc với (ABC). Cho AB =BC = a. Yêu cầu: Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Theo đề bài ta có (SAC) giao với (SBC) = SC,
Gọi F là trung điểm đoạn AC. Suy ra BF vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Dựng BK vuông góc với SC tại K
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
Gọi H là giao điểm của AC và BD.
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)
Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.
Tam giác SCD là cân tại S ; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)
SM ⊥ CD và HM ⊥ CD
⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α
Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, độ dài đoạn AB = a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D. Yêu cầu: Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC). Biết (DBC) là tam giác đều.
Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC)
Dựa vào công thức diện tích hình chiếu của đa giác ta được: SΔABC = SΔDBC.cos(α)
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Góc giữa hai mặt phẳng (SOF)và (SBC)
Tam giác BCD có BC = BD và ∠BCD = 60° nên tam giác BCD đều
Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC
Mặt khác, tam giác BDE có OF là đường trung bình
⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF (1).
+ Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO (2).
+ Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SOF) ⇒ (SBC) ⊥ (sOF)
Vậy, góc giữa ( SOF) và( SBC) bằng 90°
Ứng dụng của góc giữa hai mặt phẳng trong đời sống và khoa học
Góc giữa hai mặt phẳng có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ khoa học không gian đến công nghệ xây dựng và năng lượng tái tạo. Việc hiểu và điều chỉnh góc này có thể cải thiện hiệu suất và độ chính xác của nhiều ứng dụng khác nhau.
Hình học và Trong không gian: Trong hình học không gian, góc giữa hai mặt phẳng được sử dụng để xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian ba chiều. Điều này có ứng dụng trong việc xác định sự cắt nhau của hai mặt phẳng, góc nghiêng của mặt phẳng so với mặt phẳng khác, và trong việc tạo ra các hình dạng không gian phức tạp.
Kỹ thuật Xây dựng và Cơ khí: Trong kỹ thuật xây dựng và cơ khí, góc giữa hai mặt phẳng thường được sử dụng để xác định vị trí và góc độ của các bộ phận trong các kết cấu. Điều này có ứng dụng trong việc thiết kế và xây dựng các công trình, máy móc, và thiết bị kỹ thuật.
Hàng không và Điều khiển Tàu bay: Trong ngành hàng không, góc giữa mặt cánh của máy bay và mặt phẳng nằm ngang (mặt đất) là một yếu tố quan trọng trong việc điều khiển và duy trì sự ổn định của máy bay trong không trung. Việc điều chỉnh góc này có thể ảnh hưởng đến sự cất cánh, hạ cánh, và bay an toàn của máy bay.
Khoa học Vũ trụ và Định vị Trái đất: Trong lĩnh vực khoa học vũ trụ, góc giữa mặt phẳng của một vệ tinh và mặt phẳng xác định bởi vị trí của Trái đất thường được sử dụng để định vị các vệ tinh và tính toán độ cao của chúng. Điều này quan trọng trong việc đảm bảo độ chính xác của hệ thống định vị toàn cầu (GPS) và trong việc theo dõi các vệ tinh thăm dò vũ trụ.
Năng lượng Mặt trời: Trong năng lượng mặt trời, góc giữa mặt phẳng của bảng năng lượng mặt trời và mặt phẳng xác định bởi ánh sáng mặt trời thường được điều chỉnh để tối ưu hóa hiệu suất thu thập năng lượng mặt trời. Góc này ảnh hưởng đến khả năng thu thập năng lượng mặt trời và hiệu suất của hệ thống.
Hy vọng vọng những kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng có thể giúp các bạn biết cách xác định được góc giữa hai mặt phẳng trong không gian để áp dụng vào làm bài tập nhé
