Trong bài viết dưới đây, Điện Máy Sharp Việt Nam sẽ chia sẻ lý thuyết góc giữa hai mặt phẳng là gì? Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian và các bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo

Góc giữa hai mặt phẳng là gì?

Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.

Tính chất:

  • Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ
  • Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.

Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

Cách 1. Tìm hai đường thẳng a; b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

Cách 2. Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(β) thì S’ = S.cosφ ⇒ cosα ⇒ φ

Cách 3. Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang

  • Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mp
  • Bước 2: Chọn mặt phẳng (γ) vuông góc Δ
  • Bước 3: Tìm các giao tuyến (γ) với (α); (β) ⇒ ((α), (β)) = (a, b)

Tham khảo thêm:

Bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD

B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB

C. (BCD) ⊥ (AIB)

D. (ACD) ⊥ (AIB)

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang-1

Lời giải

+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD

⇒ CD ⊥ BI (1)

+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD

⇒ CD ⊥ AI (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).

⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);

Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB .

Vậy A: sai ⇒ Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tâm giác vuông cân tại điểm B. SA = a và vuông góc với (ABC). Cho AB =BC = a. Yêu cầu: Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang-2

Theo đề bài ta có (SAC) giao với (SBC) = SC,

Gọi F là trung điểm đoạn AC. Suy ra BF vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Dựng BK vuông góc với SC tại K

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang-3

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang-4

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

 Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)

Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.

Tam giác SCD là cân tại S ; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)

SM ⊥ CD và HM ⊥ CD

⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α

Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang-5

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, độ dài đoạn AB = a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A ta lấy một điểm D. Yêu cầu: Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC). Biết (DBC) là tam giác đều.

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang-6

Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (DBC)

Dựa vào công thức diện tích hình chiếu của đa giác ta được: SΔABC = SΔDBC.cos(α)

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang-7

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Góc giữa hai mặt phẳng (SOF)và (SBC)

cach-xac-dinh-goc-giua-hai-mat-phang-8

Tam giác BCD có BC = BD và ∠BCD = 60° nên tam giác BCD đều

Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC

Mặt khác, tam giác BDE có OF là đường trung bình

⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF (1).

+ Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO (2).

+ Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (SOF) ⇒ (SBC) ⊥ (sOF)

Vậy, góc giữa ( SOF) và( SBC) bằng 90°

Hy vọng vọng những kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng có thể giúp các bạn biết cách xác định được góc giữa hai mặt phẳng trong không gian để áp dụng vào làm bài tập nhé

5/5 - (1 bình chọn)