Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ nhắc lại các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân, thường giúp các bạn củng cố lại kiến thức vận dụng giải bài tập dễ dàng nhé

Các hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lý Cosin

he-thuc-luong-trong-tam-giac

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

  • a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;
  • b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;
  • c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Hệ quả:

  • Cos A = (b2 + c2 – a2)/2bc
  • Cos B = (a2 + c2 – b2)/2ac
  • Cos C = (a2 + b2 – c2)/2ab

2. Định lý Sin

Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ta có:

a /sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

he-thuc-luong-trong-tam-giac-2

Ngoài ra, các bạn nên tham khảo thêm công thức lượng giác chi tiết tại đây.

3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

he-thuc-luong-trong-tam-giac-3

Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác.Ta có

  • ma2 = [2(b2 + c2) – a2]/4
  • mb2 = [2(a2 + c2) – b2]/4
  • mc2 = [2(a2 + b2) – c2]/4

4. Công thức tính diện tích tam giác

Ta kí hiệu ha, hb và hc là các đường cao của tam giác ABClần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C và S là diện tích tam giác đó.

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

  • S = ½absinC = ½bcsinA = ½casinB
  • S = abc/4R
  • S = pr
  • S = √p(p – a)(p – b)(p – c) (công thức hê – rông)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

he-thuc-luong-trong-tam-giac-7

Cho ΔABC, góc A bằng 900, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

  • BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC
  • CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

  • c2 = a.c’ (AB2 = BH.BC)
  •  b2 = a.b’ (AC2 = CH.BC)
  • h2 = b’.c’ (AH2 = CH.BH)
  • b.c = a.h (AB.AC = AH.BC )
  • 1/h2 = 1/b2 + 1/c(1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2)
  • b2 + c2 = a2 (AB2 + AC2 = BC2)(Định lý Pytago)

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

a. Định nghĩa

he-thuc-luong-trong-tam-giac-9

  • sinα = cạnh đối chia cho cạnh huyền
  • cosα = cạnh kề chia cho cạnh huyền
  • tanα = cạnh đối chia cho cạnh kề
  • cotα = cạnh kề chia cho cạnh đối

b. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

c. Một số hệ thức cơ bản

he-thuc-luong-trong-tam-giac-10

d. So sánh các tỉ số lượng giác

Cho góc nhọn α, ta có:

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

  • sinα < sinβ; tanα < tanβ
  • cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα < tanα; cosα < cotα

2. Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

a. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

  • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề
  • Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

he-thuc-luong-trong-tam-giac-11

  • b = a.sinB = a.cosC
  • c = a.sinC = a.cosB
  • b = c.tanB = c.cotC
  • c = b.tanB = b.cotC

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác:

Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

he-thuc-luong-trong-tam-giac-8

Lưu ý:

  • Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)
  • Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

Các dạng bài tập về hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân và thường

Ví dụ 1: Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên kia bò sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thằng A C=30 m, rồi vạch CD vuông góc với phương BC cắt AB tại D (xem hình vẽ). Đo được AD = 20m, từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc ACB.

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac

Lời giải:

Xét Δ BCD vuông tại C và CA là đường cao, ta có:

AB.AD = AC2 (hệ thức lượng)

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-1

Vậy tính độ dài AB = 45 m và số đo góc ACB là 56018′

Ví dụ 2: Cho ΔABC có AB = 12, BC = 15, AC = 13

a. Tính số đo các góc của ΔABC

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ΔABC

c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d. Tính độ dài đường cao nối từ các đỉnh của tam giác ABC

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-2

Lời giải:

a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-3

c. Để tính được diện tích một cách chính xác nhất ta sẽ áp dụng công thức Hê – rông

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-4

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-5

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-6

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-7

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-8

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-9

Tham khảo thêm:

Ví dụ 4: Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông đề đo chiều cao của một cây dừa, với các kích thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm là l,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-10

Lời giải:

Xét tứ giác ABDH cóXét tứ giác ABDH có:

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-11

Vậy chiều cao của cây dừa là 16 m.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH .

a. Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC
b. Biết AB = 6cm, BH = 3cm, Tính AH, AC, CH

Lời giải:

a. Áp dụng định lý Pi-Ta-Go cho tam giác vuông AHB vuông tại H

Ta có: AB2 = AH2 +  BH2 = 62+ 4,52= 56,25 cm2

Suy ra: AB √56,25 =  7,5( cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AH là chiều cao ta được:

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-12

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-13

b. Trong tam giác vuông ABH vuông tại H.

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-14

Ta có: AB2 = AH2 + BH2

=> AH2 = AB2 – BH2 = 62 – 32 = 27

Vậy AH = √27 = 5,2cm

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-15

bai-tap-he-thuc-luong-trong-tam-giac-16

Hy vọng với những kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác mà chúng tôi vừa phân tích kỹ phía trên có thể giúp bạn nắm chắc được công thức để vận dụng giải các bài tập.