Bạn gặp bài toán liên quan đến định lý Viet nhưng bạn lại không nhớ được định lý Viet như thế nào? Sau đây, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về hệ thức Viet như định lý Viet thuận, định lý Viet đảo; ứng dụng và các dạng bài tập định lý Viet thường gặp có lời giải để các bạn cùng tham khảo nhé

Lý thuyết về hệ thức Viet

1. Định lý Viet thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

S = x1 + x2 = -b/a

P = x1.x2 = c/a

Hệ quả:

  • Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c/a.
  • Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = −1, còn nghiệm kia là x2= −c/a

2. Định lý Viet đảo

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

he-thuc-vi-et

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2 – Sx + P = 0 (1).

Chú ý: điều kiện S2– 4P ≥ 0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1) ≥ 0 hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

Tham khảo thêm:

Ứng dụng của hệ thức Viet

1. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

he-thuc-vi-et-1

2. Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Biểu thức f(x1, x2) gọi là đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1, x2) = f(x2, x1) (Nếu đổi chỗ vị trí x1 và x2 thì biểu thức không thay đổi)

Nếu f(x1, x2) đối xứng thì f(x2, x1) luôn có thể biểu diễn qua 2 biểu thức đối xứng là S = x1 + x2; P = x1.x2

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thây đôi khi hoán vị x1 và x2.

Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P. Ví dụ:

he-thuc-vi-et-2

3. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Để tìm hệ thức giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 (∆ ≥ 0)

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi ét he-thuc-vi-et-3rồi rút m từ các hệ thức đó

Bước 3: Đồng nhất các vế ta sẽ tìm được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

Các dạng bài tập hệ thức Viet có lời giải

Ví dụ 1: Tìm hai số biết

a. Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11

b. Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180

Giải

a. Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S2 ≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìm

Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – 8x + 11 = 0

∆ = (-8)2 – 4.11 = 64 – 44 = 20 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

he-thuc-vi-et-4

Vậy hai số cần tìm là: 4 ± √5

b. Với S = 17, P = 180 thì S2 = 289 < 4P = 720 nên không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Ví dụ 2: Tìm u – v biết u + v = 15, u.v = 36, u > v

Lời giải:

Vì S = 15, P = 36 thỏa mãn S2 ≥ 4P nên tồn tại hai số u và v

Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – 15x + 36 = 0

∆ = (-15)2 – 4.36 = 225 – 144 = 81 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

he-thuc-vi-et-5

Vậy hai số cần tìm là: 12 và 3

Do u > v nên u = 12 và v = 3 ⇒ u – v = 12 – 3 = 9

Ví dụ 3: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

a, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn:

+ Điều kiện để phương trình trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x1; x2 là: ∆’ > 0

Lời giải:

a, x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

∆’ = b’2 – ac = (m – 1)2 – (m – 3) = m2 – 3m + 4 = he-thuc-vi-et-6với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

b, Với mọi m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

he-thuc-vi-et-7

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Lơi giải

Δ = (2m – 1)2 – 4.2(-1) = 4m2 – 4m + 1 – 8m + 8 = 4m2 – 12m +9 = (2m – 3)≥ 0

Vì ∆ ≥ 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2

Theo hệ thức Vi-et ta có:

he-thuc-vi-et-8

Lấy (1) + (2): 2(x1 + x2) +4x1x2 = -1 không phụ thuộc vào m

Tính các kích thước của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a .

Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + 2x + k = 0. Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:

a) x1 – x2= 14

b) x1 = 2x2

c) x12 + x22 = 1

d) 1/x1 + 1/x2 = 2

Lời giải:

he-thuc-vi-et-9

he-thuc-vi-et-10

Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 + (2m -1)x – m = 0.

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x1, x2là 2 nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức A= x12 + x22 – x1.x2 có giá trị nhỏ nhất

Lời giải

he-thuc-vi-et-11

Bên trên chính là toàn bộ định lý Viet và ứng dụng có giúp các bạn học sinh hệ thống lại kiến thức toán học của mình từ đó có thể áp dụng vào giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao đơn giản và chính xác nhé

Đánh giá bài viết