Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ nhắc lại lý thuyết và công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng kèm theo các bài tập minh họa có lời giải để các bạn cùng tham khảo nhé

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là gì?

Κhοảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) được định nghĩa là khοảng cách từ điểm M đến hình chiếu (vuông góc) của nó trên (P). Ký hiệu là d(M,(P)).

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(α;β;γ) và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0. Khi đó, công thức khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng đã cho là:

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-1

Tham khảo thêm:

Phương pháp tìm khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) , ta sử dụng các phương pháp sau đây:

Cách 1:

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-2

Bước 1:

  • Tìm hình chiếu H của O lên (α)
  • Tìm mặt phẳng (β) qua O và vuông góc với (α)
  • Tìm Δ = (α) ∩ (β)
  • Trong mặt phẳng (β), kẻ OH ⊥ Δ tại H ⇒ H là hình chiếu vuông góc của O lên (α)

Bước 2: Khi đó OH là khoảng cách từ O đến (α)

Cách 2:

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-3

Nếu đã có trước đường thẳng d ⊥ (α) thì kẻ Ox // d cắt (α) tại H. Lúc đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α) ⇒ d(O, (α)) = OH

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-4

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-5

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-6

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính d(I,(SFC))

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-7

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-8

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a, SD ⊥ (ABCD), SD = a

a. Tính d(D,(SBC))

b. Tính d(A,(SBC))

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-9

Lời giải

Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC

a. Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH ⊥ SB, (H ∈ SB) (1)

Vì BM = AD = ½CD => Tam giác BCD vuông tại B hay BC ⊥ BD (*). Mặt khác, vì SD ⊥ (ABCD) => SD ⊥ BC (**)

Từ (*) và (**) ta có:

BC ⊥ (SBD) => BC ⊥ DH (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DH ⊥ (SBC) hay d(D,(SBC)) = DH

khoang-cach-tu-diem-den-mat-phang-10

Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể biết cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng đơn giản và chính xác nhé