7 cách phân tích đa thức thành nhân tử cực đơn giản từ A – Z

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức được học từ lớp 8 nếu các bạn không nắm được các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử, tách hạng tử,.. sẽ không giải được các bài tập.  Tuy nhiên, các bạn đừng quá lo lắng tất cả đã được chúng tôi trình bày chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tham khảo nhé

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B có nhân tử chung C, khi đó.

A + B = C.A₁ + C.B₁ = C(A₁ + B₁)

Ví dụ:

a) x² – x = x.x – x.1 = x(x – 1)

b) 5x²(x – 2y) – 15x(x – 2y) = x.5x(x – 2y) – 3.5x(x – 2y) = (x – 3).5x(x – 2y)

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung.

Tham khảo ngay: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ:

a) x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3x².1 + 3x.1² + 1³ = (x + 1)³

b) (x + y)² – 9x² = (x + y)² – (3x)² = (x + y + 3x)(x + y – 3x) = (4x + y)(-2x + y)

3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Phương pháp:

• Vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
• Tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.
• Áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

Lưu ý:

• Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.
• Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa).
• Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.
• Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức.

Ví dụ:

a, x² – 2xy + xy² – 2y³.= ( x² – 2xy ) + ( xy² – 2y³ ) = x( x – 2y ) + y²( x – 2y ) = ( x + y² )( x – 2y )

b, x² + 4x – y² + 4 = ( x² + 4x + 4 ) – y² = ( x + 2 )² – y² = ( x + 2 – y )( x + y + 2 )

4. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Phương pháp: Để tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử ta vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Ví dụ:

2x² – 7xy + 5y² = 2x² – 2xy – 5xy + 5y² = (2x² – 2xy) – (5xy – 5y²) = 2x (x – y) – 5y(x – y) = (x – y)(2x – 5y)

5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Phương pháp: Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta vận dụng thêm bớt hạng tử linh hoạt để đưa về nhóm hạng tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Ví dụ: y⁴+ 64 = y⁴+ 16y² + 64 – 16y² = (y² + 8)² – (4y)² = (y² + 8 – 4y)(y² + 8 + 4y)

6. Phối hợp nhiều phương pháp

Phương pháp: Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để vận dụng các phương pháp đã biết:

• Đặt nhân tử chung
• Dùng hằng đẳng thức
• Nhóm nhiều hạng tử và phối hợp chúng

Để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lưu ý: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.

Ví dụ:

a. x² + 4x – 2xy – 4y + y² = ( x² – 2xy + y² ) + ( 4x – 4y ) = ( x – y )² + 4( x – y ) = ( x – y )( x – y + 4 ).

b. 2xy – x² – y² + 16 = 16 – ( x² – 2xy + y² ) = 16 – ( x – y )² = ( 4 – x + y )( 4 + x – y ).

7. Phương pháp đặt biến phụ

Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 39 (trang 19 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Lời giải:

a) 3x – 6y = 3.x – 3.2y = 3(x – 2y) (Xuất hiện nhân tử chung là 3)

c) 14x²y – 21xy² + 28x2y² = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy(2x – 3y + 4xy) (Xuất hiện nhân tử chung 7xy)

e) 10x(x – y) – 8y(y – x)

(Nhận thấy x – y = –(y – x) nên ta đổi y – x về x – y)

= 10x(x – y) – 8y[–(x – y)]

= 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y (Xuất hiện nhân tử chung 2(x – y))

= 2(x – y)(5x + 4y)

Bài 40 (trang 19 SGK Toán 8 Tập 1): Tính giá trị của biểu thức:

a) 15.91,5 + 150.0,85

b) x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2001 và y = 1999

Lời giải:

a) 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.10.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500

b) x(x – 1) – y(1 – x) = x(x – 1) – y[–(x – 1)] = x(x – 1) + y(x – 1) = (x – 1)(x + y)

Tại x = 2001, y = 1999, giá trị biểu thức bằng:

(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000

Bài 41 (trang 19 SGK Toán 8 Tập 1): Tìm x, biết:

a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

b) x³ – 13x = 0

Lời giải:

a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

(Có x – 2000 là nhân tử chung)

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

⇔ x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

+ x – 2000 = 0 ⇔ x = 2000

+ 5x – 1 = 0 ⇔ 5x = 1 ⇔ x = 1/5.

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn là x = 2000 và x = 1/5.

b) x³ = 13x

⇔ x³ – 13x = 0

⇔ x.x² – x.13 = 0

(Có nhân tử chung x)

⇔ x(x² – 13) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² – 13 = 0

+ x² – 13 = 0 ⇔ x² = 13 ⇔ x = √13 hoặc x = –√13

Vậy có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 (trang 19 SGK Toán 8 Tập 1): Chứng minh rằng 55^{n + 1} – 55ⁿ chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).

Lời giải:

Có : 55^{n + 1} – 55ⁿ

= 55ⁿ.55 – 55ⁿ

= 55ⁿ(55 – 1)

= 55ⁿ.54

Vì 54 chia hết cho 54 nên 55ⁿ.54 luôn chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n.

Vậy 55^{n + 1} – 55ⁿ chia hết cho 54.

Bài 43 (trang 20 SGK Toán 8 Tập 1): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Lời giải:

a) x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = (x + 3)² 

b) 10x – 25 – x² = –(–10x + 25 + x²) = –(25 – 10x + x²) = –(5² – 2.5.x + x²) = –(5 – x)²

Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Lời giải

b) (a + b)³ – (a – b)³

= [(a + b) – (a – b)] . [(a + b)² + (a + b).(a – b) + (a – b)²]

= (a + b – a + b) . (a² + 2ab + b² + a² – b²+ a² – 2ab + b²)

= 2b.(3a²+ b²)

c) (a + b)³ + (a – b)³

= [(a + b) + (a – b)] . [(a + b)² – (a + b)(a –b) + (a – b)²]

= [(a + b) + (a – b)] . [(a² + 2ab + b²) – (a² – b²) + (a² – 2ab + b²)]

= (a + b + a – b) . (a² + 2ab + b² – a² + b² + a² – 2ab + b²)

= 2a.(a² + 3b²)

Hy vọng với các phương pháp mà chúng tôi vừa chia sẻ phía trên có thể giúp các bạn biết cách phân tích đa thức thành nhân tử để giải bài tập đơn giản và chính xác nhé