Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về phương trình đường thẳng và các dạng phương trình tham số, phương trình tổng quát, phương trình chính tắc,..và các dạng bài tập thường gặp nhất ở các đề thi đại học hiện nay để các bạn cùng tham khảo nhé

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

1. Phương trình tổng quát

Phương trình Δ : ax + by + c = 0, a2 + b2 ≠ 0 là PTTQ của đường thẳng Δ nhận n (a;b )làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

  • Δ: ax + c = 0,(a≠0) nên Δ song song hoặc trùng với Oy.
  • Δ: by + c = 0,(a≠0) nên Δ song song hoặc trùng với Ox.
  • Δ: ax + by = 0, a2 + b2 ≠ 0 nên Δ đi qua gốc tọa độ.

2. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại 2 điểm A(a; 0) và B(0; b) có phương trình đoạn theo chắn là x/a + y/b = 1 (a, b ≠ 0)

3. Phương trình tham số

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0) và nhận u = (u1, u2) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là

phuong-trinh-duong-thang

với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng.

4. Phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua M0(x0, y0) và có vecto chỉ phương u = (u1, u2) là

phuong-trinh-duong-thang-1

Với u1, u2 ≠ 0

5. Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc α. Đặt  k = tanα, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương u = (u1, u2) thì có hệ số góc k = u1/u2

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n = (a,b) thì có hệ số góc k = – a/b

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

6. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Xét 2 đường thẳng D1: a1x + b1y + c1 = 0 ; D2: a2x + b2y + c2 = 0. Tọa độ giao điểm D1, D2 là nghiệm của hệ phương trình:

phuong-trinh-duong-thang-2

Ta có các trường hợp sau:

  • Hệ (I) có một nghiệm (x0; y0), khi D1 cắt D2 tại M0(x0; y0)
  • Hệ (I) có vô số nghiệm khi D1 trùng D2
  • Hệ (I) vô nghiệm khi D1 // D2

Lưu ý: Nếu a2, b2, c2 ≠ 0 thì

phuong-trinh-duong-thang-3

7 Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng Δ1: a1x + b1y + c1 = 0 có vecto pháp tuyến nvà Δ2: a2x + b2y + c2 = 0 có vecto pháp tuyến n2

Đặt j = ( Δ1, Δ2), khi đó

phuong-trinh-duong-thang-4

Lưu ý:

  • Δ1⊥ Δ⇔ n1⊥ n⇔ a1a2 + b1b2 = 0
  • Nếu Δ1 và Δcó phương trình đường thẳng là y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì Δ1⊥ Δ⇔  k1k2 = -1

8. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng (d) ax + by + c = 0 và M(x0; y0) ∉ (d), khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức

phuong-trinh-duong-thang-5

Tham khảo thêm:

Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0,z0 và nhận u = (u1, u2, u3) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là

phuong-trinh-duong-thang-6

với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng.

2. Dạng chính tắc

Nếu cả u1, u2, u3 đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc

phuong-trinh-duong-thang-7

3. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

phuong-trinh-duong-thang-8

Các dạng bài tập phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng.

Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:

bai-tap-phuong-trinh-duong-thang

Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm A(3; -7) và B( 1; -7) có phương trình tham số là:

bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-1

Dạng 2:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện các bước như sau:

bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-2

Lưu ý:

Nếu đường thẳng ∆1 cùng phương với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: ax + by + c’ = 0
Nếu đường thẳng ∆1 vuông góc có với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 có phương trình tổng quát là: –bx + ay + c’ = 0

Ví dụ:Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận n = (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A. x – 2y + 1 = 0; B. 2x + y = 0; C. x – 2y – 5 = 0; D. x – 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận n = (1; -2) làm VTPT

=>Phương trình đường thẳng (d) : 1(x – 1) – 2(y + 2) = 0 hay x – 2y – 5 = 0

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 : a2x + b2y + c2 = 0, ta xét các trường hợp sau:

bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-3

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để tính khoảng cách từ điểm Mo(xo; yo) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0, ta dùng công thức:

bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-4

Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể hệ thống lại kiến thức về phương trình đường thẳng và các dạng bài tập thường gặp để áp dụng giải bài tập nhanh chóng và chính xác nhé