Trong bài viết dưới đây, điện máy Sharp Việt Nam sẽ hướng dẫn các bạn cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập phương trình tiếp tuyến đường tròn chi tiết từ A – Z để các bạn cùng tham khảo
Nội dung bài viết
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm M0 (x0; y0) nằm trên đường tròn (C), tâm I (a; b). Gọi Δ là tiếp tiếp của (C) tại M0.
Ta có:
M0 thuộc Δ và vectơ IM0 = (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của Δ.
Do đó phương trình của Δ là:
(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = 0 (1)
Vậy phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x – a)2 + (b – y)2 = R2 tại điểm M0 (x0; y0) nằm trên đường tròn.
Các dạng bài tập về phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M (x0, y0) thuộc đường tròn.
Ta dùng công thức tách đôi tọa độ
Nếu phương trình đường tròn là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là:
xx0 + yy0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0
Nếu phương trình đường tròn là: (x -a)2 + (y – b)2 = R2 thì phương trình tiếp tuyến là:
(x – a)(x0 – a) + (y – b)( y0 – b) = R2
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn (C) tại điểm M(3;4) biết đường tròn có phương trình là:
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 8
Lời giải
Đường tròn (C) có tâm là điểm I(1;2) và bán kính R = √8
Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;4) là: (3−1)(x−3)+(4−2)(y−4)=0
⇔ 2x+2y−14=0
Ví dụ 2: Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) .
Lời giải
Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) .
Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.
⇒ phương trình (d) là: 2( x – 3) – 2( y + 4) = 0
⇔ (d) : 2x – 2y – 14 = 0 hay x – y – 7 = 0
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 tại điểm M0(−1;5)
Lời giải
Dễ thấy phương trình đường tròn (C) được biểu diễn thành:
x2 + y2 – 2.(−1).x – 2.2.y = 0
⇒ phương trình tiếp tuyến là:
x.(−1) + y.5 – (−1).(x–1) – 2.(y + 5) – 4 = 0
⇔−x + 5y + x–1 – 2y – 10 – 4 = 0
⇔ y = 5
Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm I (x0, y0) cho trước ở ngoài đường tròn
Viết phương trình của đường thẳng d qua I (x0, y0):
y – y0 = m(x – x0) ⇔ mx – y – mx0 + y0 = 0 (1)
Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m và thay m vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến.
Lưu ý: Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến
Ví dụ 1: Cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là gì?
Lời giải
Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên
phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .
Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi :
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .
Lời giải
Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = √ 22 + 22 – 4 = 2
⇒ Phương trình ∆: a(x – 4) + b(y – 6) = 0 hay ax + by – 4a – 6b = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
+ Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x – 4 = 0.
+ Nếu 4a = – 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x – 4y + 12 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x – 4 = 0 và 3x – 4y + 12 = 0 .
Dạng 3: Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k
Phương pháp: Phương trình của đường thẳng d có dạng:
y = kx + m (m chưa biết)⇔ kx – y + m = 0
Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 20. Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) có hệ số góc bằng 2
Lời giải
Ví dụ 2: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: và tọa độ M nguyên?
Lời giải
+ Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(3 + 2t; 1 – 4t).
+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R
⇔ IM2 = R2 ⇔ ( 2 + 2t)2 + ( 2 + 4t)2 = 52
⇔ 4t2 + 8t + 4 + 16t2 + 16t + 4 = 52
⇔ 20t2 + 24t – 44 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -11/5 ( loại) .
+ Với t = 1 thì tọa độ M(5; -3) .
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (5; -3):
⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x – 5) – 3(y + 3) = 0 hay 2x – 3y – 19 = 0
Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn để áp dụng vào làm bài tập
và tọa độ M nguyên?
