Số chính phương là gì? Tính chất số chính phương, dạng bài tập từ A – Z

Theo khảo sát thực tế của chúng tôi cho thấy hiện nay có rất nhiều các bạn học sinh không biết số chính phương là gì? Hoặc không chứng minh được đây là số chính phương. Chính vì vậy, trong bài viết dưới đây, Điện máy Sharp Việt Nam sẽ chia sẻ lý thuyết số chính phương là gì? Tính chất của số chính phương và các dạng bài tập số chính phương thường gặp có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé

Số chính phương là gì?

Số chính phương hay còn gọi là số hình vuông là số tự nhiên có căn bậc hai là một số tự nhiên hay nói cách khác số chính phương bằng bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số tự nhiên. Số chính phương biểu thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số tự nhiên.

Số chính phương có 2 dạng chính đó là:

• Số chính phương chẵn là bình phương của một số chẵn. Ví dụ: 4, 16, 36… là số chính phương chẵn.
• Số chính phương lẻ là bình phương của một số lẻ. Ví dụ: 9, 49, 81… là số chính phương lẻ.

Tính chất số chính phương

• Tận cùng của số chính phương là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nếu các số tận cùng là 2,3,7,8 thì không phải là số chính phương.
• Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 4n hoặc 4n + 1, không có số chính phương nào có dang 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n € N).
• Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 3n hoặc 3n + 1, không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (với n € N).
• Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
• Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
• Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
• Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
• Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
• Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
• Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
• Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
• Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
• Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương khi chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4.
• Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a² – b² = (a – b)(a + b).
• Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.
• Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p².
• Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1: 1; 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7; 1 + 3 + 5 + 7 + 9;…v.v

Tham khảo thêm:

• Số vô tỉ là gì? Sự khác biệt giữa số vô tỉ và hữu tỉ chuẩn 100%
• Số hữu tỉ là gì? Các dạng bài tập số hữu tỉ có lời giải từ A – Z
• Cấp số nhân là gì? Tính chất, công thức tính cấp số nhân chuẩn 100%

Các dạng bài tập về số chính phương

Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương, hoặc là tổng nhiều số chính phương.

Phương pháp: Để chứng minh một số n là số là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa, tức là chứng minh: n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴ là số chính phương.

Lời giải

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y⁴

= (x² + 5xy + 4y²)(x² + 5xy + 6y²) + y⁴

Đặt x² + 5xy + 5y² = t (t ∈ Z) thì

A = (t – y²)(t + y²) + y⁴ = t² – y⁴ + y⁴ = t² = (x² + 5xy + 5y²)²

Vì x, y, z ∈ Z nên x² ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y² ∈ Z => (x² + 5xy + 5y²) ∈ Z

Vậy A là số chính phương.

Ví dụ 2: CHo B = 1.2.3 + 2.3.4 +…+ k k + 1 k + 2 với k là số tự nhiên. Chứng minh rằng 4B + 1 là số chính phương

Lời giải:

Ta thấy biểu thức B là tổng của một biểu thức chúng ta nghĩ đến việc phải thu gọn biểu thức B trước

Ta có:

Vì k ∈ N nên k² + 3k + 1 ∈ N. Vậy 4B + 1 là số chính phương

Ví dụ 3: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Giải:

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z). Ta có:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)²

= (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.

Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương

Ví dụ 1:Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương

a) n² + 2n + 12

b) n(n + 3)

c) 13n + 3

d) n² + n + 1589

Lời giải:

a) Vì n² + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n² + 2n + 12 = k² (k ∊ N)

(n² + 2n + 1) + 11 = k²

⇔ k² – (n + 1)² = 11

⇔ (k + n + 1)(k – n – 1) = 11

Nhận xét thấy k + n + 1 > k – n – 1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết

(k + n + 1) (k – n – 1) = 11.1

b) Đặt n(n + 3) = a² (n ∊ N)

⇒ n² + 3n = a²

⇔ 4n² + 12n = 4a²

⇔ (4n² + 12n + 9) – 9 = 4a²

⇔ (2n + 3)² – 4a² = 9

⇔ (2n + 3 + 2a).(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1

c) Đặt 13n + 3 = y² (y ∊ N)

⇒ 13(n – 1) = y² – 16

⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)

⇒ (y + 4)(y – 4) chia hết cho 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 chia hết cho 13 hoặc y – 4 chia hết cho 13

⇒ y = 13k ± 4 (với k ∊ N)

⇒ 13(n – 1) = (13k ± 4)² – 16 = 13k.(13k ± 8) = 13k² ± 8k + 1

Vậy n = 13k² ± 8k + 1 (với k ∊ N) thì 13n + 3 là số chính phương

d) Đặt n² + n + 1589 = m² (m ∊ N)

⇒ (4n² + 1)² + 6355 = 4m²

⇔ (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết

(2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28

Dạng 3: Tìm số chính phương

Ví dụ : A là số chính phương gồm có 4 chữ số. Thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị, ta sẽ được một số chính phương B. Yêu cầu: Hãy tìm A và B.

Lời giải

Dạng 4: Chứng minh một số không phải là số chính phương

Ví dụ: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.

Giải:

Số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90).

Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.

Hy vọng với những kiến thức về số chính phương là gì và tính chất số chính phương có thể giúp các bạn áp dụng vào làm bài tập. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo Cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng và bài tập có lời giải tại: https://kyniemsharp10nam.vn/tu-van-dich-vu/cap-so-cong/