Đường trực tâm tam giác là kiến thức toán học cơ bản của lớp 7 nhưng lại được vận dụng rất nhiều để giải các bài toán lớp 8, 9 và cấp 3. Nếu bạn không nắm chắc được định nghĩa trực tâm là gì và tính chất đường trực tâm trong tam giác sẽ không giải được các bài tập. Tất cả đã được chúng tôi trình bày chi tiết trong bài viết dưới đây
Nội dung bài viết
Trực tâm của tam giác là gì?
Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao trong tam giác đó. Nói cách khác, ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm của tam giác.
Ví dụ: Tam giác ABC có ba đường cao là AM, BN, CP. Gọi H là giao điểm của ba đường cao trên thì H là trực tâm của tam giác ABC.
Tính chất đường trực tâm trong tam giác
Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.
Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
Hệ quả: Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba cạnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau
Cách xác định đường trực tâm của một tam giác
Đối với mỗi loại tam giác sẽ có địa điểm và cách xác định trực tâm khác nhau:
1. Tam giác nhọn
Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó.
Ví dụ: Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.
2. Tam giác vuông
Trực tâm chình là đỉnh góc vuông.
Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.
3. Tam giác tù
Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó.
Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác.
Các dạng bài tập về đường trực tâm của tam giác từ cơ bản đến nâng cao
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Lời giải:
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.
Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC
Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC
Vậy CH vuông góc với AB.
Ví dụ 2: Cho hình vẽ
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Lời giải:
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
b) ΔNMQ vuông tại Q có:
Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng 9 điểm gồm chân ba đường cao; trung điểm ba cạnh và trung điểm các đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường tròn.
Lời giải:
Gọi
– I, L, K lần lượt là chân ba đường cao hạ từ 3 đỉnh A, B và C. H là giao điểm ba đường cao.
– D, E, F lần lượt là trung điểm của 3 cạnh AB, BC và AC.
– G, I, J lần lượt là trung điểm của 3 đoạn AH, BH và CH.
Ta có:
– DF là đường trung bình ▲ABC => DF//BC và DF = ½ BC. (1)
– IJ là đường trung bình ▲HBC => IJ//BC và IJ = ½ BC. (2)
Từ (1) và (2) => DFJI là hình bình hành. (3)
Ta có: DI là đường trung bình ▲AHB => DI//AH nên DI//AI.
Mặc khác: AI ┴ BC và IJ//BC.
=> DI vuông góc với IJ. (4)
Từ (3) và (4) ta có DFJI là hình chữ nhật. Tâm đường tròn ngoại tiếp DFJI là O, O là trung điểm DJ. (a)
Tương tự chứng minh GDEJ là hình chữ nhật ngoại tiếp đường tròn tâm O, O là trung điểm DJ. (b)
– GIE vuông tại I, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp ▲GIE là O trung điểm GE. Tương tự O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ▲JLD và ▲IKF. (c)
Từ (a), (b) và (c) kết luận 9 điểm là chân đường cao, trung điểm các cạnh của ▲ABC và trung điểm 3 đoạn HA, HB, HC cùng nằm trên một đường tròn tâm O.
Hy vọng với những kiến thức về đường trực của tâm tam giác mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn nắm được định nghĩa trực tâm là gì và tính chất để vận dụng vào giải các bài tập nhé
