Công thức đạo hàm là kiến thức cơ bản của lớp 11 nếu các bạn không nắm chắc được định nghĩa và các công thức tính đạo hàm thì không thể vận dụng giải các bài tập được. Trong bài viết dưới đây chúng tôi liệt kê các công thức tính đạo hàm và đạo hàm lượng giác để các bạn cùng tham khảo nhé

Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x0 ∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số

cong-thuc-dao-ham khi x → x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0, kí hiệu là f'( x0) hay y'( x0). Như vậy:

cong-thuc-dao-ham-1

Đại lượng Δx được gọi là số gia của đối số tại x0 và đại lượng Δy được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

Quy tắc tính đạo hàm

  • Bước 1. Với Δx là số gia của số đối tại x0, tính Δy = f(x0+Δx) − f(x0);
  • Bước 2. Lập tỉ số  cong-thuc-dao-ham-3
  • Bước 3. Tính  cong-thuc-dao-ham-4

Công thức đạo hàm

cong-thuc-dao-ham-2

Đạo hàm các hàm số sơ cấp

cong-thuc-dao-ham-5

Đạo hàm cấp cao

cong-thuc-dao-ham-6

Quy tắc cơ bản của đạo hàm

1. Quy tắc cơ bản của tính đạo hàm

cong-thuc-dao-ham-7

2. Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Nếu y = y(u(x)) thì y'(x) = y'(u).u'(x)

Công thức đạo hàm cơ bản

cong-thuc-dao-ham-8

Công thức đạo hàm lượng giác

cong-thuc-dao-ham-9

Bảng đạo hàm và nguyên hàm

cong-thuc-dao-ham-10

Tham khảo thêm:

Các dạng bài toán liên quan đến công thức đạo hàm

Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

bai-tap-cong-thuc-dao-ham

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x= x0 <=> f'(x0+)=f'(x0)

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

Ví dụ 1:  f(x) = 2x3+1 tại x=2

bai-tap-cong-thuc-dao-ham-1

=> f'(2) = 24

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức về đạo hàm

Ví dụ 1: Cho y = e−x.sinx, chứng minh hệ thức y”+2y′+ 2y = 0

Bài giải :

Ta có y′=−e−x.sinx + e−x.cosx

y′ =−e−x.sinx+e−x.cosx

y”=e−x.sinx−e−x.cosx−e−x.cosx−e−x.sinx = −2e−x.cosx

Vậy y”+ 2y′+ 2y = −2.e−x.cosx− −2.e−x.sinx + 2.e−x.cosx + 2.e−x.sinx =0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y= f(x) tại tiếp điểm M( x0;y0) có dạng:

Ví dụ: Cho hàm số y= x3+3mx2 + ( m+1)x + 1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x = -1 đi qua điểm A( 1;2).

Tập xác định D = R

y’ = f'(x)= 3x2 + 6mx + m + 1

Với x0 = -1 => y0 = 2m -1, f'( -1) = -5m + 4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M( -1; 2m – 1) : y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)

Ta có A ( 1;2) ∈ (d) <=> ( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2  => m = 5/8

Dạng 4: Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc

Viết PTTT Δ của ( C ) : y = f( x ), biết Δ có hệ số góc k cho trước

Gọi M( x0;y0) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x0)

Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = ( x0) = k (i)

Giải (i) tìm được x0 => y0= f(x0) => Δ : y = k (x – x0)+ y0

Lưu ý:Hệ số góc k = y'( x0) của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau:

bai-tap-cong-thuc-dao-ham-2

Ví dụ: Cho hàm số y=x3+3x2-9x+5 ( C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( C ), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Ta có y’ = f'( x ) = 3x2 + 6x – 9

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'( x0) = 3 x02 + 6 x0 – 9

Ta có 3 x02 + 6 x0 – 9 =3 ( x02 + 2x0 +1) – 12 = 3 (x0+1)2– 12 > – 12

Vậy min f( x0)= – 12 tại x0 = -1 => y0=16

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= -12( x+1)+16 <=> y= -12x + 4

Dạng 5: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

bai-tap-cong-thuc-dao-ham-3