Để chứng minh các bài toán liên quan đến trọng tâm tam giác các bạn cần nắm được định nghĩa, tính chất trọng tâm tam giác thì có thể làm được bài tập. Tất cả sẽ được chúng tôi chia sẻ lý thuyết trọng tâm tam giác thường, đều, vuông, cân chi tiết trong bài viết dưới đây
Nội dung bài viết
Trong tâm tam giác là gì?
Trọng tâm trong tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh
Tính chất trọng tâm trong tam giác
Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Tam giác ABC với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có: GA = 2/3 AM, GC = 2/3 GP, BG = 2/3 GN
1. Trọng tâm tam giác vuông
Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.
Tam giác MNP vuông tại M, ba đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = ½ PN = DP = DN.
2. Trọng tâm tam giác cân
Cho tam giác ABc cân tại A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân tại A, nên AG vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao và là đường phân giác cùa tam giác ABC. Ta có hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:
Góc BAD bằng góc CAD.
Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.
3. Trọng tâm tam giác đều
Cho tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến. Theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trựa tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.
Để xác định được trọng tâm của một tam giác các bạn có thể thực hiện theo 2 cách sau:
Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến
Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.
Bước 3: Xác định trọng tâm: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.
Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến
Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.
Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.
Bài tập tính trọng tâm tam giác thường, vuông, cân, đều
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. CHứng minh tam giác ABC cân tại A
Lời giải:
Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:
Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM
Xét ΔBNG và ΔCGM ta có:
BG = CN
GN = GM
Suy ra : ΔBNG đồngdạng ΔCMG
Suy ra: BN = CM (1)
mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2)
Từ (1) và (2) ta có: AB = AC => Tam giác ABC cân tại A( đpcm).
Ví dụ 2: Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.
Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S.
Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I.
Ta có ∆MNP đều, suy ra:
MS = PR = NO (1).
Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:
MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2).
Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.
Ví dụ 3: Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI?
Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác).
Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).
Vậy đọan AI có độ dài 6 cm.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là AB=4cm;AC=7cm;BC=8cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn AG
Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn nắm được tính chất trọng tâm tam giác và cách xác định trọng tâm tam giác để làm bài tập nhé
