Trong bài viết dưới đây, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết về số hữu tỉ là gì? so sánh hai số hữu tỉ, các phép toán trong tập hợp số hữu tỉ,..giúp các bạn hệ thống lại kiến thức từ đó có thể làm các bài tập nhanh chóng nhé

Số hữu tỉ là gì?

Trong toán học, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b, trong đó a và b là các số nguyên với b ≠ 0. Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q.

Số hữu tỉ bao gồm:

  • Số thập phân hữu hạn: 0.2 (1/5), 1.5 (3/2),..
  • Số thập phân vô hạn tuần hoàn: 0.33333… (1/3), 0.111111… (1/9),…
  • Tập hợp số nguyên (Z): – 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
  • Tập hợp số tự nhiên (N): 1, 2, 3, 4,…

Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và không phụ thuộc vào cách chọn phân số xác định nó.

Ví dụ: Số hữu tỉ 2/3 được biểu diễn bởi điểm M trên trục số sau:

so-huu-ti-la-gi

Tính chất số hữu tỉ

  • Tập hợp số hữu tỉ là các số đếm được.
  • Tổng hai số hữu tỉ đối nhau bằng 0. Tức là nếu số hữu tỉ là số dương thì số đối của nó là số hữu tỉ âm và ngược lại số hữu tỉ là số âm thì số đối của nó sẽ là số hữu tỉ dương.

So sánh số hữu tỉ

Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta làm như sau:

– Viết x, y dưới dạng phân số cùng mẫu dương.

x = a/m; y = b/m ( m > 0)

– So sánh các tử là số nguyên a và b

  • Nếu a > b thì x > y
  • Nếu a = b thì x = y
  • Nếu a < b thì x < y

Lưu ý:

Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương, và được biểu diễn bởi các điểm bên phải gốc O trên trục số

Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm, và được biểu diễn bởi các điểm bên trái gốc O trên trục số

Số 0 không là số hữu tỉ dương, cũng không là số hữu tỉ âm

Các phép toán thực hiện trong tập hợp số hữu tỉ Q

1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ:

Đưa số hữu tỉ về dạng phân số cùng mẫu dương

  • Cộng hai số hữu tỉ: a/m + b/m = (a + b) / m
  • Trừ hai số hữu tỉ:  a/m – b/m = (a – b) / m

Chú ý: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó. Với mọi x, y, z ∈ Q: x + y = z ⇒ x = z – y.

2. Nhân, chia hai số hữu tỉ:

  • Nhân hai số hữu tỉ: a/b.c/d = a.c/b.d
  • Chia hai số hữu tỉ:a/b : c/d = a.d/b.c

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x.

Công thức xác định giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ là:

so-huu-ti-la-gi-1

Tính chất: Với mọi x ∈ Q thì |x| ≥ 0; |x| = |-x|; |x| ≥ x

Tham khảo:

Công thức tính lũy thừa của một số hữu tỉ

Các công thức tính luỹ thừa của một số hữu tỉ là:

  • Tích của hai luỹ thừa cùng cơ số: xm.xn = xm+n
  • Luỹ thừa của luỹ thừa: (xm)n = xm.n
  • Luỹ thừa của một tích: (x.y)n = xn.yn
  • Luỹ thừa của một thương: (x/y)n = xn/yn

Bài tập số hữu tỉ thường gặp

Dạng 1: Thực hiện phép tính số hữu tỉ

Phương pháp

  • Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số
  • Áp dụng quy tác cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính
  • Rút gọn kết quả (nếu có)

so-huu-ti-la-gi-2

Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Phương pháp:

  • Nếu a/b là số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phía chiều dương trục OX a phân, ta được vị trí của số a/b
  • Nếu a/b là số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài 1 đơn vị làm b phần bằng nhau, rồi lấy về phí chiều âm trục Ox a phần, ta được vị trí ủa số a/b

Ví dụ: Biểu diễn số hữu tỉ 2/3 trên trục số.

Để biểu diễn số hữu tỉ 2/3 trên trục số ta làm như sau:

– Vẽ trục số.

– Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm 0 tới điểm 1) thành 3 phần bằng nhau, ta được đoạn đơn vị mới bằng 1/3 đơn vị cũ.

– Số hữu tỉ 2/3 được biểu diễn bởi điểm N nằm về phía bên phải điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 2 đơn vị mới như hình dưới đây:

so-huu-ti-la-gi-4

Dạng 3: So sánh số hữu tỉ

Phương pháp:

Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó bằng một trong các cách sau:

  • Đưa về các phân số có cùng mẫu số dương rồi so sánh tử số.
  • So sánh với số 0, so sánh với số 1, với –1,…
  • Dựa vào phần bù của 1: So sánh các phần bù rồi suy ra kết quả.
  • So sánh với phân số trung gian.
  • Có thể sử dụng tính chất sau để so sánh: Nếu a, b, c ∈ Z và a < b thì a + b < b + c

so-huu-ti-la-gi-5

Ví dụ: So sánh các số hữu tỉ sau:

so-huu-ti-la-gi-6

Do đó: -8/15 > 17/-13

Dạng 4: Tìm các số hữu tỉ trong một khoảng cho trước

Phương pháp:

so-huu-ti-la-gi-7

Ví dụ 1: Tìm số nguyên a sao cho so-huu-ti-la-gi-8

so-huu-ti-la-gi-9

Dạng 5: Tìm điều kiện để số hữu tỉ là số hữu tỉ dương, âm, là số 0

Phương pháp:

Dựa vào tính chất:

  • Số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ dương nếu a/b > 0. Khi đó a và b cùng dấu
  • Số hữu tỉ a/b là số hữu tỉ âm nếu a/b < 0. Khi đó a và b trái dấu
  • Số hữu tỉ a/b là số không âm, không dương nếu a/b = 0. Khi đó a = 0.

Ví dụ: Cho số hữu tỉ so-huu-ti-la-gi-10. Với giá trị nào của m thì x

a) Là số hữu tỉ dương

b) Là số hữu tỉ âm

c) Là số không âm, không dương

Lời giải:

a) Vì 2021 > 0 nên x là số hữu tỉ dương khi m – 2020 > 0 ⇒ m > 2020

b) x là số hữu tỉ âm khi m – 2020 < 0 ⇒ m < 2020.

c) x là số không âm, không dương, tức x = 0 ⇒ m – 2020 = 0 ⇒ m = 2020

Dạng 6: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích, thương của hai số hữu tỉ 

Phương pháp:

  • Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số
  • Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên
  • Tách ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên tìm được
  • Lập tích hoặc thương của các phân số đó.

Ví dụ 1: Viết số 22/57 dưới dạng

a) Tích của hai số hữu tỉ âm

b) Thương của hai số hữu tỉ dương

Lời giải:

so-huu-ti-la-gi-11

Hy vọng với những kiến thức về số hữu tỉ là gì và các dạng bài tập mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn làm bài tập đơn giản nhé